Яков Борисович Браун родился в 1910 году в Москве. Активно заниматься боксом начал в возрасте четырнадцати лет под руководством именитого тренера Константина Градополова, позже проходил подготовку в столичном спортивном клубе «Динамо». На первом чемпионате СССР по боксу, прошедшем в апреле 1926 года, одолел всех своих соперников в полусредней весовой категории и завоевал золотую медаль (в финале взял верх над опытнейшим Константином Никитиным). Два года спустя в среднем весе одержал победу на боксёрском турнире Всесоюзной спартакиады, помимо этого участвовал в международных матчевых встречах со сборными Латвии, Финляндии, Норвегии и Турции. Позже перешёл в тяжёлую весовую категорию, в 1934 году на чемпионате Советского Союза попытался вернуть себе чемпионское звание, но в решающем матче проиграл другому москвичу Александру Постнову и вынужден был довольствоваться серебром.

В 1937 году в числе пятнадцати первых лучших боксёров Брауну было присвоено звание мастера спорта. Всего в любительском боксе он провёл 67 боёв, из них 50 окончены победой (в том числе 18 досрочно), в восьми случаях была зафиксирована ничья. Имеет в послужном списке 10 международных встреч: девять выиграл и одну свёл к ничьей. В 1948 году за свои спортивные достижения удостоен почётного звания «Заслуженный мастер спорта СССР» и включён в число «Выдающихся боксёров СССР». После завершения спортивной карьеры перешёл на тренерскую работу, воспитал многих талантливых бойцов, в частности, одним из его учеников был многократный чемпион всесоюзных первенств Виктор Степанов.

Помимо бокса Яков Браун увлекался парашютным спортом, в 1934 году был в числе первых спортсменов, совершивших прыжок с парашютом