Андрей Васильевич Абрамов родился в 1935 году в Ижевске. Впервые занялся боксом в конце 1940-х годов в спортивной секции машиностроительного завода у тренера А. Дударева. Выступал в весовой категории св. 81 кг.
Первой вершиной в спортивной карьере была победа в 1952 году на первенстве ЦС ДСО «Зенит». В 1954 году стал чемпионом России. Был принят в сборную СССР вместо Альгирдаса Шоцикаса.

За спортивную карьеру им было проведено 160 боёв, в 148 из которых им были одержаны победы.

На олимпийских играх в Риме в 1960 году Андрей Васильевич Абрамов дошёл до 1/4 финала, где уступил по очкам будущему чемпиону Франческо де Пикколи.

Трижды становился чемпионом Европы в 1957, 1959 и 1961 годах.
Так же, Андрей Васильевич шесть раз становился чемпионом СССР в 1957, 1958, 1960, 1961,1962, 1963 годах и по праву считается одним сильнейших тяжеловесов своего времени.

В 1962 году был удостоен звания Заслуженный мастер спорта.

В 1989 – 1994 возглавлял Совет ветеранов спортсменов воинов СА и ВМФ.